Polynomials with Rational Coefficients

Alhamdulillah, Salam Smart buat Sahabat yang Smart. Berikut ini adalah postingan jawaban dan pembuktian Penulis tentang berbagai latihan di Bab 11 Polynomials with Real Coefficients Pada buku INTEGERS, POLYNOMIALS AND RINGS. Karya Ronald S. Irving, Terbitan Springer Seandainya ada kekeliruan, tolong diposkan dikolom koment ya... Semoga bermanfaat buat kita semua! ===================================================================================
Integers, Polynomials, and Rings -

Proposisi # 1

Salam Smart buat Sahabat yang Smart.
Pagi yang indah ya...
Dipagi ini, saya mencoba memposting tentang Proposisi-proposisi sedrhana tentang asal usul Operasi dalam bilangan Asli:
Maksudnya kita belum memiliki berbagai operasi yang kita kenal secara umum. Bingung???
Kita mulai saja ya...
=============================================================================

Misal diberikan operai . (Bukan operasi jumlah yang selama ini kita kenal ya...)

Nah akhirnya kita temukan  sifat operasi yang komutatif ya.... 

 

 

Proposisi # 2

Salam Smart buat Sahabat yang Smart.
Pagi yang indah ya...
Dipagi ini, saya mencoba memposting tentang Proposisi-proposisi sedrhana tentang asal usul Operasi dalam bilangan Asli:
Maksudnya kita belum memiliki berbagai operasi yang kita kenal secara umum. Bingung???
Kita mulai saja ya...
=============================================================================

Misal diberikan operai . (Bukan operasi jumlah yang selama ini kita kenal ya...)

 

Nah, akhirnya kita temukan opersai yang bersifat Assosiatif ya....

Polynomials with Real Coefficients

Alhamdulillah, Salam Smart buat Sahabat yang Smart.
Berikut ini adalah postingan adalah jawaban dan pembuktian Penulis tentang berbagai latihan di Bab 10 Polynomials with Real Coefficients Pada buku INTEGERS, POLYNOMIALS AND RINGS. Karya Ronald S. Irving, Terbitan Springer
Seandainya ada kekeliruan, tolong diposkan dikolom koment ya...
Semoga bermanfaat buat kita semua!

=================================================================================  Integers, Polynomials and Rings

Invers suatu fungsi

Salam Smart buat Sahabat yang Smart. Berbicara tentang fungsi, lahir sebuah pertanyaan apakah invers dari Range pada suatu fungsi sama dengan daerah asal(Domain)nya?
Jawabannya iya jika fungsi tersebut merupakan fungsi Injektif (satu-satu).
mari kita buktikan ya...
=============================================================================
Misalkan , maka
Bukti:
Misalkan , maka haruslah:
dan
1) Misal  
    Misal maka dan
    Misal untuk suatu . Berarti
    berarti
    Karena setiap  maka , dapat disimpulkan bahwa:
   

 

2) Misal   

    Misal maka dan

    Misal untuk suatu . Berarti
             untuk suatu . Berarti
    Karena , berarti
    Jika , maka . Berarti
    Karena setiap   berakibat , dapat disimpulkan bahwa:

      

Dari (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa:

  Terbukti ya....

Polinom Berderajat Dua # 3

Salam Smart buat Sahabat yang Smart!
Melanjutkan postingan sebelumnya (Polinom Berderajat Dua # 2), lahir pertanyaan andaikan akar-akarnya bukan bilangan Real, apakah menjamin Diskiriminannya akan kurang dari nol?
Kita coba lihat ya....
=============================================================================
Misal , berarti akar-akar dari . maka;

 

 

Sehingga:

 

 

 

Karena , maka 

 

Jadi, jika  , berarti akar-akar dari . maka    

Jelas ya....

Polinom Berderajat Dua # 2

Salam Smart buat Sahabat yang Smart!
Ada Sahabat yang bertanya Jika sebuah persamaan kuadrat mempunyai akar yang kembar, apakah sudah menjamin diskriminan dari persamaan kudrat itu bernilai nol?
Sebelum menjawab pertanyaan tersebut, kita harus tahu dulu apa sebenarnya Diskriminan itu?
Coba simak uraian berikut:
===============================================================================
Andaikan , misal dan akar-akar dari . Maka;






merupakan diskrinan dari .
Misal dan akar-akar dari . Maka;



Karena , maka;


Sehingga


Jadi, misal dan akar-akar dari .Jika maka .
Bagaimana, apakah penjelasan ini bisa menjawab pertanyaan Sahabat? Semoga saja iya....

Teorema Nilai Antara

Salam Smart buat Sahabat yang Smart!
Postingan berikut tentang Nilai Antara. Maksudnya apa???
Maksudnya gini loch!
=========================================================================
Suatu fungsi  f  dikatakan kontinyu di [a,b] jika untuk bilangan real w, dimana f(w) terletak diantara f(a) dan f(b), maka terdapat c pada [a,b] sedemikian sehingga f(w) = c.

ya semoga ilustrasi di atas bisa sedikit memperjelas tentang teorema nilai anatara....

Polinom Berderajat Dua # 1

Salam Smart buat Sahabat yang Smart!
Apakah benar setiap Polinom berderajat dua merupakan kuadat dari polinom berderajat satu???
Benar dong!!!
Ga Percaya??? Coba perhatikan langkah pembuktian berikut ini!
==========================================================================
Misal untuk suatu berlaku:

Maka:

  

 

 

 

 

Jadi,   untuk suatu   , maka  adalah kuadrat dari suku banyak berderajat satu,   

jadi terbukti kan...!

Untuk pernyataan yang lainnya nanti kita buktikan pada postingan selanjutnya ya...!