Subgelanggang

Tugas Perkuliahan MA. 5222 “Teori Suku Banyak” 

Nama   : Rusliansyah

NIM    : 90110301

1.      Apakah  Sub gelanggang dari R?

Akan diselidiki apakah pada H berlaku sifat

a.       yang memenuhi

Ambil  , maka  berlaku

b.       sehingga

 ambil  , dimana maka berlaku

c.        yang memenuhi

Ambil sembarang   dimana  maka terdapat  yang memenuhi

Jadi H merupakan Subgelanggang dari R

2.      Apakah  dimana adalah “squere free” Sub gelanggang dari R?

Akan diselidiki apakah pada H berlaku sifat

d.       yang memenuhi

Ambil  , maka  berlaku

e.       sehingga

 ambil  , dimana maka berlaku

f.         yang memenuhi

Ambil sembarang   dimana  maka terdapat  yang memenuhi

Jadi H merupakan Subgelanggang dari R

3.      Contoh Gelanggant tidak komutatif R yang mempunyai subgelanggang S yang komutatif

4.      Misal  Subgelanggang dari gelanggang , maka  adalah Subgelanggang dari

Benar, karena  sifat-sifat yang berlaku di  diturunkan dari sifat-sifat yang berlaku pada

5.      Misal S subgelanggang dari gelanggang R. Buktikan bahwa

a)     

b)      Jika  adalah balikan penjumlahan dari  maka

Bukti

a.      Ambil  sembarang maka terdapat  yang memenuhi

Karena S subgelanggang dari R, maka  yang berakibat

b.      Ambil sembarang  maka terdapat  yang memenuhi

Karena x juga kebalikan dari y maka juga memenuhi

 

Berakibat

 

Karena  dan , maka

6.      Misal . Buktikan bahawa S adalah SUbgelanggang dari Gelanggang R jika dan hanya jika :

a)     

b)      Operasi (+) di R adalah operasi di S

c)      Operasi (x) di R adalah operasi di S

d)     

Bukti

a)      Ambil sembarang maka yang memenuhi

 

Karena , maka  yang berakibat

b)      Ambil sembarang maka

                       Identitas Penjumlahan

     Balikan Penjumlahan

    Assosiatif Penjumlahan

 Balikan Penjumlahan

              Komutatif Penjumlahan

c)      Ambil sembarang maka

                        Identitas Perkalian

            Balikan Perkalian

        Assosiatif perkalian

          Balikan Perkalian

           Komutatif Perkalian

d)      Ambil sembarang  maka terdapat  yang memenuhi