BUKTI TEOREMA CEVA

Salam Smart Mathematics!
Didalam Geometri Elementer, terdapat suatu teorema yang cukup terkenal yaitu Teorema Ceva.
Berikut Deskripsi dari teorema Ceva:

Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik D, E, dan F masing-masing terletak pada garis BC, CA, dan AB. (lihat gambar)

Teorema Ceva menyatakan bahwa

Garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik jika dan hanya jika:

Sesuai dengan dalil Sinus, Teorema Ceva juga dapat dibentuk sebagai berikut.

=========================================================================

BUKTI TEOREMA CEVA

Perhatikan kata "jika dan hanya jika" dari teorema tersebut.

Dengan demikian, untuk membuktikan teorema ini, kita harus membuktikan 2 kondisi berikut:
1. Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik, maka
2. Jika , maka garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik

Untuk Kondisi Pertama:
Diketahui bahwa garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik.

Lihat gambar segitiga ABC di atas.
dan memiliki tinggi yang sama.
Oleh karena itu: ... (ia)
Perhatikan juga bahwa dan juga memiliki tinggi yang sama.
Oleh karena itu: ...(ib)

Dari kedua persamaan di atas, maka kita dapatkan:

... (ic)

Dengan cara yang sama, kita akan mendapatkan persamaan untuk sisi segitiga yang lain:

... (ii)

... (iii)

Kalikan ketiga persamaan itu, maka akan kita dapatkan:

Kondisi pertama TERBUKTI

Untuk Kondisi Kedua:
(Gunakan gambar segitiga di atas, dengan simbol dan garis yang sama)
Terdapat titik F' pada garis AB sehingga memenuhi persamaan berikut.

... (i)

Karena kita masih memakai simbol F dalam gambar kita, maka persamaan ini juga berlaku (sesuai dengan pembuktian yang kondisi pertama):

... (ii)

Dengan membandingkan keduanya, maka kita dapatkan:

Tambahkan 1 di kedua ruas, maka:

Persamaan terakhir menunjukkan bahwa titik dan titik berhimpit.
Artinya garis garis AD, BE, dan CF' berpotongan di 1 titik

Kondisi Kedua TERBUKTI

=========================================================================

BENTUK TEOREMA CEVA DALAM TRIGONOMETRI

Lihat juga post mengenai PEMBUKTIAN DALIL SINUS di SINI.
Untuk segitiga ABC, dalil Sinus berbunyi sbb: .

Maka, kita dapatkan ketiga persamaan berikut (lihat gambar paling atas).

... (i)
... (ii)
... (iii)

Dengan mengalikan ketiga persamaan tersebut, kita dapatkan persamaan berikut.

TERBUKTI.

Semoga bermanfaat buat kita semua. Amin!