Bukti Aljabar
Sabtu, 29 Oktober 2011
Jumat, 28 Oktober 2011
Senin, 24 Oktober 2011
Sabtu, 22 Oktober 2011
Senin, 17 Oktober 2011
Teorema Dasar Keterbagian I
Assalamu Alaikum Warahmatullahi wabarrakatuh Para Sahabat Smart!
Berikut sekilas tentang keterbagian pada Bilangan Bulat
Definisi Keterbagian
Berikut sekilas tentang keterbagian pada Bilangan Bulat
Definisi Keterbagian
Jika a dan b adalah bilangan bulat dengan a dikatakan membagi b, jika terdapat sebuah bilangan bulat m sedemikian sehingga b = am dan ditulis a│b dan jika a tidak membagi b, maka ditulis a Å‚ b.
Beberapa sifat-sifat / Teorema keterbagian
Teorema 1
Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan a│b dan b│c maka a│c.
Bukti
a│b dan b│c maka menurut Definisi, terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga c = bn = (am)n = a(mn). Jadi, c = a(mn). Untuk suatu mn = p anggota bilangan Bulat maka c = ap Akibatnya menurut Definisi, a│c.
Untuk lebih jelasnya, diberikan Contoh berikut.
Contoh
Jika 2│6 dan 6│90 maka menurut Teorema 2│90 karena terdapat bilangan bulat 45 sedemikian sehingga (45)(2) = 90
Teorema 2
Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan c│a dan c│b maka c│(am+bm). untuk suatu m,n anggota bilangan Bulat
Bukti
c│a dan c│b maka terdapat bilangan bulat xdan y sedemikian sehingga a =cx dan b =cy
Sehingga, am = c(xm) dan bn =c(yn). untuk suatu xm = p dan (yn)=q, Maka:
am + bn = c(p+q). Akibatnya,c│(am+bn).
Sehingga, am = c(xm) dan bn =c(yn). untuk suatu xm = p dan (yn)=q, Maka:
am + bn = c(p+q). Akibatnya,c│(am+bn).
Teorema 3 (Buchmann, 2002: 3)
a. Jika a│b dan b ≠ 0 maka |a| ≤ |b|.
b. Jika a│b dan b│a maka |a| = |b|.
Bukti
a. Jika a│b dan b ≠ 0 maka menurut Definisi, terdapat m ≠ 0 sedemikian sehingga b = am.
Karena b = am maka |b| = |am| ≥ |a| sehingga, |a| ≤ |b|.
b. Andaikan a│b dan b│a. Jika a = 0 maka b = 0 dan jika a ≠ 0 maka b ≠ 0.
Selanjutnya,
Jika a ≠ 0 dan b ≠ 0 maka sesuai dengan Teorema 3a, |a| ≤ |b| dan |b| ≤ |a| sehingga |a| = |b|.
Semoga Bermanfaat buat Para sahabat Smart! Amin
Karena b = am maka |b| = |am| ≥ |a| sehingga, |a| ≤ |b|.
b. Andaikan a│b dan b│a. Jika a = 0 maka b = 0 dan jika a ≠ 0 maka b ≠ 0.
Selanjutnya,
Jika a ≠ 0 dan b ≠ 0 maka sesuai dengan Teorema 3a, |a| ≤ |b| dan |b| ≤ |a| sehingga |a| = |b|.
Semoga Bermanfaat buat Para sahabat Smart! Amin
Jumat, 14 Oktober 2011
Kamis, 06 Oktober 2011
Jangan Hukum Dirimu Dengan Penyesalan
Oleh. Anchasinyo
Angin malam kembali belai sukmaku yang kesepian
Hantarkan khayalku mencari tempat berlabuhnya
Dari balik awan Dewi malam menertawakanku
Dan Si Bintang seakan memperolok diriku.
Jiwaku memberontak tak mau terima kenyataan
karena aku tidak seperti mereka.
Hatiku meraung dan meratap sedih
Karena Aku telah kehilangan.
Aku, aku dan aku kini tak tahu.
Apa makna dari semua ini.
Beribu tanya yang terjawab kian sesakkan dada ini
Lahirkan sebuah sesal yang tak berujung.
Angin malam selimuti lelapku
Hantarkan mimpiku ke dunia yang tak kukenali.
Diseberang titian mereka menyapaku dengan ramah
Dan jiwa tak berwujud seakan memeluku.
Aku merasa tenang dalam dekapannya
Aku merasa damai bersama mereka
Dengan suara lembut namun pasti mereka berbisik
"Jangan Hukum dirimu dengan Penyesalan"
Angin malam kembali belai sukmaku yang kesepian
Hantarkan khayalku mencari tempat berlabuhnya
Dari balik awan Dewi malam menertawakanku
Dan Si Bintang seakan memperolok diriku.
Jiwaku memberontak tak mau terima kenyataan
karena aku tidak seperti mereka.
Hatiku meraung dan meratap sedih
Karena Aku telah kehilangan.
Aku, aku dan aku kini tak tahu.
Apa makna dari semua ini.
Beribu tanya yang terjawab kian sesakkan dada ini
Lahirkan sebuah sesal yang tak berujung.
Angin malam selimuti lelapku
Hantarkan mimpiku ke dunia yang tak kukenali.
Diseberang titian mereka menyapaku dengan ramah
Dan jiwa tak berwujud seakan memeluku.
Aku merasa tenang dalam dekapannya
Aku merasa damai bersama mereka
Dengan suara lembut namun pasti mereka berbisik
"Jangan Hukum dirimu dengan Penyesalan"
Rabu, 05 Oktober 2011
Langganan:
Postingan (Atom)