Teorema Dasar Keterbagian I

 Assalamu Alaikum Warahmatullahi wabarrakatuh Para Sahabat Smart!
      Berikut sekilas tentang keterbagian pada Bilangan Bulat
Definisi Keterbagian

Jika a dan b adalah bilangan bulat dengan  a dikatakan membagi b, jika terdapat sebuah bilangan bulat m sedemikian sehingga b = am dan ditulis a│b dan jika a tidak membagi b, maka ditulis a ł b. 

Beberapa sifat-sifat / Teorema keterbagian

Teorema 1                                                             

Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan a│b dan  b│c maka a│c.

Bukti

a│b dan b│c maka menurut Definisi, terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga   c = bn = (am)n = a(mn). Jadi, c = a(mn). Untuk suatu mn = p  anggota bilangan Bulat maka c = ap Akibatnya menurut Definisi, a│c.   

Untuk lebih jelasnya, diberikan Contoh  berikut.

Contoh

Jika 2│6 dan 6│90 maka menurut Teorema 2│90 karena terdapat bilangan bulat 45 sedemikian sehingga (45)(2) = 90

Teorema 2

Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan c│a dan c│b maka c│(am+bm). untuk suatu m,n anggota bilangan Bulat

Bukti

c│a dan c│b maka terdapat bilangan bulat xdan y sedemikian sehingga a =cx  dan b =cy  
Sehingga, am = c(xm) dan  bn =c(yn). untuk suatu xm = p dan (yn)=q, Maka:
 am + bn = c(p+q). Akibatnya,c│(am+bn).  

Teorema 3 (Buchmann, 2002: 3) 

a. Jika a│b dan b ≠ 0 maka |a| ≤ |b|.  

b. Jika a│b dan b│a maka |a| = |b|.

Bukti

a. Jika  a│b dan b ≠ 0 maka menurut Definisi, terdapat  m ≠ 0 sedemikian sehingga b = am. 
    Karena b = am maka |b| = |am| ≥ |a| sehingga, |a| ≤ |b|. 
b. Andaikan  a│b dan b│a.  Jika a = 0 maka b = 0 dan jika a ≠ 0  maka b ≠ 0. 
   Selanjutnya,
   Jika  a ≠ 0 dan  b ≠ 0 maka sesuai dengan Teorema 3a, |a| ≤ |b| dan |b| ≤ |a| sehingga |a| = |b|.
Semoga Bermanfaat buat Para sahabat Smart! Amin