Pembuktian Lapangan atas Bilangan Modulo n

Lapangan Bilangan Bulat Modulo n

Sifat-sifat Dasar suatu Gelanggang, Lapangan dan Suku Banyak

Assalamu Alaikum. Wr. Wb.
Salam Smart buat Sahabat yang Smart!
Berikut ini adalah postingan tentang beberapa trik pembuktian sifat-sifat dasar Gelanggang/Ring, Lapangan/Field dan Suku Banyak/Polinom.
Semoga bermanfaat ya...!
==========================================================================

Beberapa Trik Pembuktian

#.r.o.n.i.d.r.e.a.m.#: Suku ke-n Barisan Fibonacci

#.r.o.n.i.d.r.e.a.m.#: Suku ke-n Barisan Fibonacci

Gelanngang F[x] atas lapangan F

Jika diberikan sebuah lapangan F, apakah himpunan suku banyak F[x] yang dibangun atas lapangan F merupakan Gelanggang?
 Jawabannya Iya! Buktinya?
Silahkan lihat pembuktiannya sebagai berikut.
Gelanggang Polinom atas Lapangan F

Sebenarnya F[x] lebih dari sekedar gelanggang. Karena F[x] juga merupakan gelanggang KOMUTATIF. Untuk membuktikannya, coba Sahabat yang Smart membuktikannya sendiri ya....

2011!

Berapa banyak angka nol tak terputus yanrulang dibelakang 2011!? Sahabat yang Smart mungkin dapat melihat pembahasannya pada postingan berikut ini:

Smart Solution -

Daerah exhaution

Daerah Exhautions

Banyaknya Persegi pada Papan Catur!

Assalamu alaikum,
Salam smart untuk sahabatku yang Smart! Ada salah seorang sahabat yang bertanya tentang menentukan bentuk umum suatu barisan bilangan, untuk menjawab pertanyaan tersebut, mungkin postingan berikut dapat sedikit membantu!

Banyak Persegi Pada papan Catur

Rumus Praktis Matematika SMA

rumus praktis matematika SMA, SMK SNPTN, UN

Apa Sich itu Angka NOL?

 

Nol itu genap atau ganjil? Pembagian dengan nol hasilnya apa? Nol dibagi nol? Nol pangkat nol? Nol faktorial? 

Nol itu suka bikin orang bingung ya. Ya, emang sih. Ada beberapa yang membuat orang bingung. Itu mungkin karena mereka gak terlalu ngerti matematika, jadi daripada pusing-pusing dengan bilangan besar atau rumus menjelimet, ya main-main aja dengan nol. Masukin filsafat, dan jadilah nol begitu kerennya. Hehe
Berikut saya daftarkan beberapa kesalah pahaman orang tentang nol.

Nol itu bukan genap dan bukan ganjil.
Nol itu memang bukan positif dan juga bukan negatif, tapi dia genap! Gampang aja. Secara definisi, bilangan genap adalah bilangan bulat yang dapat dibagi dengan dua dan hasilnya tetap bulat. Nol itu bilangan bulat dan bisa dibagi dua, hasilnya nol, dan nol sekali lagi, adalah bilangan bulat. Selain itu, Ada teorema dalam teori bilangan yang mengatakan kalau jumlah dua bilangan genap adalah bilangan genap. -2 itu bilangan genap. 2 itu bilangan genap juga. Kalau di jumlahkan? Hasilnya nol. Kalau kita anggap nol bukan bilangan genap, akibatnya teorema itu harus di ubah menjadi : jumlah dua bilangan genap adalah bilangan genap kecuali nol. Gak efektif. Matematika itu sebisa mungkin efektif dan sederhana. Ngapain susah-susah.

Nol adalah bilangan prima.
Bukan. Bilangan prima hanya berlaku untuk bilangan setelah satu. Ia harus asli dan bukan komposit. Satu bukan bilangan prima, juga bukan komposit. Nol apalagi, dan bilangan negatif sama sekali bukan
.
Nol itu bukan bilangan.

Kalau kamu menghitung dengan jari, memang nol bukan bilangan hitung. Nol adalah bagian dari bilangan cacah untuk menunjukkan kuantitas. Saat kamu punya sekotak coklat yang isinya enam batang. Kamu bisa ambil enam batang. Saat temanmu minta dan ternyata tidak ada lagi, bilang aja isinya nol batang coklat. Nol termasuk bilangan. Kita terbiasa hidup di dunia yang sudah mengenal nol. Tapi dulu, orang tidak menganggap nol bilangan loh. Mereka menghitung dari satu. Dan sebelum satu adalah tidak ada bilangan. Dari sini anggapan kalau nol itu bukan bilangan.

Nol itu bilangan tanpa tanda.
Dalam sistem bilangan ada dua tanda. Positif dan negatif. Tanda sendiri bukanlah sesuatu yang bisa dijumlahkan, dikalikan atau mendapat operasi tertentu. Positif tambah positif itu gak ada. Tanda hanya menunjukkan posisi bilangan tersebut dalam garis bilangan. Akibatnya nol itu punya dua tanda, positif nol dan negatif nol. Tapi bedanya dengan bilangan lain seperti positif satu dan negatif satu, tanda pada nol tidak memiliki makna. Lho. Sebelumnya saya bilang matematika harus efektif, jadi ya gak usah dikasi tanda sama sekali aja. Betul. Dan memang begitu adanya. Positif nol dan negatif nol hanya dipakai dalam konsep limit untuk menggambarkan arah perhitungan.

Nol bukan bilangan kuadrat
Tergantung. Nol bisa bilangan kuadrat bila ia dipandang sebagai hasil kali bilangan bulat yang sama. Negatif satu kuadrat itu nilainya satu. Nol kuadrat nilainya nol. Satu kuadrat nilainya satu. Nol juga bisa dipandang bukan bilangan kuadrat jika kita membatasi bilangan kuadrat harus bilangan asli.
Nol bukan kelipatan semua bilangan
Sebaliknya. Sebuah bilangan dikatakan kelipatan dari sebuah bilangan bila ada bilangan lain yang mengalikannya. Umm, gini deh. Misalkan ada dua bilangan bulat X dan Y. X dikatakan kelipatan dari Y kalau ada bilangan bulat lainnya, Z, yang sedemikian hingga X = Y dikali Z. Nah sekarang coba ganti X dengan nol dan Y bilangan bulat acak. Berapapun. Ada gak Z yang bisa menjadi pengali bilangan acak Y sehingga hasilnya jadi nol? Bisa, pake aja Z = 0. Jadi nol adalah kelipatan semua bilangan.

Nol faktorial adalah nol
Faktorial di definisikan sebagai hasil kali bilangan tersebut dengan bilangan sebelumnya. Jadi kalau empat faktorial (dilambangkan dengan 4!) berarti 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Tiga faktorial? 3 x 2 x 1 = 6. Dua faktorial = 2 x 1 = 2. Satu faktorial = 1. Untuk menemukan nol faktorial, kamu bisa menghitung mundur dengan cara lain. Kita tahu empat faktorial = 4 x 3 x 2 x 1. Sekarang tiga faktorial bisa dibuat seperti ini, tiga faktorial = (4 x 3 x 2 x 1 )/ 4. Dua faktorial bisa dibuat seperti ini = (3 x 2 x 1) /3. Satu faktorial = (2 x 1) / 2. Nol faktorial = 1 /1. Jadi nol faktorial adalah 1.

Nol pangkat nol tidak terdefinisi
Ada yang bilang 0 pangkat 0 tidak terdefinisi. Ini karena fungsi nol pangkat x dan x pangkat nol memiliki nilai limit berbeda saat x mendekati nol. Ini salah. X pangkat nol itu nilainya 1 untuk semua x, tanpa terkecuali. Ada teorema yang namanya teorema binomial. Teorema ini penting sekali dan harusnya valid untuk x = 0, y = 0 dan atau x = -y. Sebaliknya fungsi nol pangkat x itu gak terlalu penting. Berdasarkan kepentingannya maka nol pangkat nol adalah satu. Daripada kita ganti teorema kan?

Nol itu sama saja dengan tidak ada
Nol itu ada. Contoh berapa x jika 4 + x = 1 + 3? Jawabannya ada, yaitu nol. Sekarang berapa x jika 4 + x = 1 + 2? Jawabannya tidak ada (kecuali negatif).
Berapapun dibagi nol hasilnya tak terhingga
Bukan tak terhingga, tapi tak terdefinisi alias nggak ada. Alasannya begini. Kalau kamu bagi 6 dengan 2 jawabanya 3 karena 3 kali 2 itu enam. Bila kamu bagi 6 dengan nol, pertanyaannya adalah apa bilangan yang dikali dengan nol hasilnya enam? Nggak ada kan? Tapi coba cek pernyataan 11

Nol dibagi nol hasilnya tidak terdefinisi
Aha. Jawaban nomer sepuluh itu hanya berlaku bila bilangan yang dibagi bukan nol. Saat bilangan yang dibagi adalah nol, maka jawabannya bukan tak terdefinisi, tapi tak tentu (indeterminate). Soalnya gini, kembali lagi ke perkalian tadi. a /b = c, berarti ada sebuah bilangan b yang merupakan pengali c untuk mendapatkan a. Gini loh contohnya. 6/2 = 3, ini artinya 2 x 3 = 6. Nah. Kalau 0/0 = c, ini artinya c x 0 = 0. Apa nilai c? bisa juga nol, bisa 1, bisa 2, bisa 3, bisa satu googol, bisa satu googolpleks, bisa berapa aja, gak tentu.
Komputer yang canggih bagaimana pun akan mati mendadak jika tiba-tiba bertemu dengan pembagi angka nol
Nggak. Percaya? Coba aja sendiri.
Mari kita jejer angka nol dibelakang angka satu. satu nol menjadi sepuluh. enam angka nol menjadi sejuta. seratus angka nol menjadi…? anda bisa menghitungnya sendiri. maknanya apa?
Tidak ada operasi jejer dalam matematika. Yang ada kali bagi tambah kurang dan sebagainya yang sudah anda pelajari di sekolah. Jadi makna dari pernyataan ini adalah orang yang mengatakan hal tersebut mungkin tidak tau matematika.

Nol itu tidak terbatas karena memuat semua bilangan
Ini pada dasarnya datang dari usaha memvisualisasikan angka sebagai sesuatu yang nyata. Pemikiran ini pemikiran tradisional. Ingat gimana kita pertama menghitung dengan jari. Pada dasarnya angka-angka itu abstrak. Cuma ada di kepala. Bila kamu bilang nol memuat segalanya, berarti dia bukan sebuah bilangan hitung. Bilangan hitung ada di garis bilangan. Tau kan, -2, -1, 0, 1, 2, dst. Masing-masing jelas posisinya. Jika anda memaksakan kalau nol itu tidak terbatas, maka semua bilangan juga tidak terbatas. 1 juga tidak terbatas, ia memuat 2-1, 4-3, 5-4, 6-5, dst. Dua juga, lima juga, satu googolpleks juga. Jadi pernyataan nol itu tidak terbatas gak ada artinya.
Mari kita selipkan angka nol di antara 2 dan 9, lalu kita bagi 19, ternyata hasilnya bulat!
Ini bukan matematika. Sekali lagi, tidak ada operasi jejer atau selip dalam matematika. Bila anda ingin membagi, gunakan operasi lain yang sah, seperti tambah, kurang, kali, pangkat, logaritma, akar dll.
sumber : faktailmiah.com