Hubungan antara Sudut Pusat dan Sudut Keliling pada sebuah Lingkaran

Assalamu alaikum Sahabatku yang SMART!
Beberapa Sahabat bertanya, bagaimana cara membuktikan bahwa Besarnya sudut keliling pada sebuah lingkaran adalah setengah kali besarnya sudut pusat.
Nah postingan kali ini untuk menjawab pertanyaan tersebut.
Semoga bermanfaat ya…

===========================================================

Kita bagi dua kasus ya!
Kasus I

Perhatikan gambar lingkaran berikut:

 

Misal m∠ACO = y dan m∠BCO = x, maka m∠ACB = x +y

Misal m∠AOB = α

Perhatikan segitiga ACO.

Karena segitiga ACO adalah segitiga sama kaki, maka besar sudut luar dari ∠AOC adalah:

180 – (180 – 2y) = 2y

Perhatikan segitiga BCO.

Karena segitiga BCO adalah segitiga sama kaki, maka besar sudut luar dari ∠BOC adalah:

180 – (180 – 2x) = 2x

Sehingga, besar ∠AOB dapat ditentukan yaitu:

m∠AOB = 2x + 2y

            α  = 2(x + y)

            α  = 2m∠ACB

Kasus II

Perhatikan gambar lingkaran berikut:

 

Misal m∠ACB = y,  m∠OCB = x dan m∠AOB = α

Perhatikan segitiga ACO.

Karena segitiga ACO adalah segitiga sama kaki, maka besar sudut ∠ACO = x + y =∠CAO.

Selanjutnya besar sudut ∠AOC dapat ditentukan sebagai berikut:

m∠AOC = 180 – 2(x +y) ……… (1)

Perhatikan segitiga BCO.

Karena segitiga BCO adalah segitiga sama kaki, maka ∠BOC adalah:

m∠BOC  =180 – 2x ……… (2)

Sehingga, besar ∠AOB dapat ditentukan yaitu:

m∠ AOB = m∠BOC – m∠AOC

            α  = 180 – 2x – (180 – 2(x +y))

            α  = 2y

            α  = 2m∠ACB

Jadi, terbukti bahwa besar sudut pusat suatu lingkaran adalah dua kali besar sudut kelilingnya atau besar sudut keliling adalh setengah kali besar sudut pusat.