Segi Empat pada Lingkaran

Assalamu alaikum Sahabatku yang SMART!

Postingan kali ini  tentang Proposisi yang berkaitang dengan Segi Empat di luar lingkaran.
Semoga bermanfaat ya…

===================================================

Proposisi:

Jika diketahui segi empat siklis dan setiapa sudutnya yang berhadapan berjumlah 180^o, maka ada lingkaran yang melewati keempat titik sudut segi empat tersebut.

Bukti.
Pembuktian proposisi di atas, kita lakukan dengan kontradiksi.

Andaikan diketahui segi empat siklis dan setiapa sudutnya yang berhadapan berjumlah 180^o dan tidak ada lingkaran yang melewati keempat titik sudut segi empat tersebut.

Misal tidak ada lingkaran yang melewati keempat titik sudut segi empat tersebut, berarti lingkaran hanya akan melalui paling banyak tiga titik sudut dari segi empat tersebut seperti pada gambar:

 

Misal titik C’ terletak pada ruas gari DC dan dilalui oleh lingkaran, maka akan diperoleh:

m∠DAC + m∠DCB = 180^o  (Dari yang diketahui)

m∠DAC + m∠DC’B = 180^o  (Sifat segi empat tali busur)

Jika kedua persamaan tersebut dikurangkan, maka akan diperoleh:

m∠DCB = m∠DC’B

Ini hanya mungkin, jika DC = DC’ yaitu pada saat C berhimpit dengan C’

Jadi lingkaran melalui keempat titik sudut dari segi empat yang diketahui. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian bahwa tidak ada lingkaran yang melewati keempat titik sudut segi empat tersebut. Berarti pengandaian kita salah.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa:

Jika diketahui segi empat siklis dan setiapa sudutnya yang berhadapan berjumlah 180^o, maka ada lingkaran yang melewati keempat titik sudut segi empat tersebut

===================================================

Selanjutnya 

Perhatikan gambar berikut:
 

Buktikan bahwa AD + BC = AB + CD!

Pembahasan:
Dari gambar di atas, kita dapat membuat garis yang tegak lurus pada setiap titik singgungnya seperti pada gambar berikut: 

  

Karena setia garis yang menghubungkan titik pusat dengan titik sudut segi empat berfungsi sebagai sumbu simetris setiap segi empat kecil yang dibentuk, maka akan kita peroleh:

AS = AP

DS = DR

CQ = CR

BQ = BP

Jika ke empat persamaan dijumlahkan, maka akan diperoleh:

(AS +DS) + (CQ +BQ) = (AP +BP) + (DR + CR)

AD + BC = AB + CD .Terbukti.

 


Sahabat juga dapat melihat Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling