BUKTI TEOREMA CEVA

Salam Smart Mathematics!
Didalam Geometri Elementer, terdapat suatu teorema yang cukup terkenal yaitu Teorema Ceva.
Berikut Deskripsi dari teorema Ceva:

Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik D, E, dan F masing-masing terletak pada garis BC, CA, dan AB. (lihat gambar)

Teorema Ceva menyatakan bahwa

Garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik jika dan hanya jika:

Sesuai dengan dalil Sinus, Teorema Ceva juga dapat dibentuk sebagai berikut.

=========================================================================

BUKTI TEOREMA CEVA

Perhatikan kata "jika dan hanya jika" dari teorema tersebut.

Dengan demikian, untuk membuktikan teorema ini, kita harus membuktikan 2 kondisi berikut:
1. Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik, maka
2. Jika , maka garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik

Untuk Kondisi Pertama:
Diketahui bahwa garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik.

Lihat gambar segitiga ABC di atas.
dan memiliki tinggi yang sama.
Oleh karena itu: ... (ia)
Perhatikan juga bahwa dan juga memiliki tinggi yang sama.
Oleh karena itu: ...(ib)

Dari kedua persamaan di atas, maka kita dapatkan:

... (ic)

Dengan cara yang sama, kita akan mendapatkan persamaan untuk sisi segitiga yang lain:

... (ii)

... (iii)

Kalikan ketiga persamaan itu, maka akan kita dapatkan:

Kondisi pertama TERBUKTI

Untuk Kondisi Kedua:
(Gunakan gambar segitiga di atas, dengan simbol dan garis yang sama)
Terdapat titik F' pada garis AB sehingga memenuhi persamaan berikut.

... (i)

Karena kita masih memakai simbol F dalam gambar kita, maka persamaan ini juga berlaku (sesuai dengan pembuktian yang kondisi pertama):

... (ii)

Dengan membandingkan keduanya, maka kita dapatkan:

Tambahkan 1 di kedua ruas, maka:

Persamaan terakhir menunjukkan bahwa titik dan titik berhimpit.
Artinya garis garis AD, BE, dan CF' berpotongan di 1 titik

Kondisi Kedua TERBUKTI

=========================================================================

BENTUK TEOREMA CEVA DALAM TRIGONOMETRI

Lihat juga post mengenai PEMBUKTIAN DALIL SINUS di SINI.
Untuk segitiga ABC, dalil Sinus berbunyi sbb: .

Maka, kita dapatkan ketiga persamaan berikut (lihat gambar paling atas).

... (i)
... (ii)
... (iii)

Dengan mengalikan ketiga persamaan tersebut, kita dapatkan persamaan berikut.

TERBUKTI.

Semoga bermanfaat buat kita semua. Amin!

My Days in Bandung City Slideshow & Video

My Days in Bandung City Slideshow & Video: TripAdvisor™ TripWow ★ My Days in Bandung City Slideshow ★ to Bandung. Stunning free travel slideshows on TripAdvisor

Conseptual Understanding

Pemahaman Konseptual

Rusliansyah

NIM. 90110301

Pemahaman Konseptual. merupakan salah satu dari lima kemahiran matematika yang harus dimiliki seorang siswa untuk dapat dikatakan bisa bermatematika. Lalu perlu ditanyakan “apa artinya bisa bermatematika?”. Secara sederhana seseorang siswa dikatakan bisa bermatematika, jika siswa tersebut mahir dalam matematika (Mathematic Proficient)..

Banyaknya persepsi tentang matematika, melahirkan pertanyaan “Apakah Matematika itu?” Hal ini tentunya berkaitan dengan persepsi kita tentang matematika apa yang di ajarkan di sekolah. Jika kita memandang matematika sebagai ilmu, tentunya sangat sulit untuk mengajarkannya di sekolah karena kita sebagai pengajar perlu memahami kaidah dan metodologi keilmuan. Salah satu pendekatan yang sering digunakan untuk mengajar matematika adalah pendekatan “Pembelajaran Aktif, Inovatif, Kreatif, Efektif dan Menyenangkan” atau sering disebut pendekatan “PAIKEM”.  Pendekatan ini menunjukkan bahwa matematika yang diajarkan disekolah sesungguhnya adalah “Kegiatan Bermatematika”, sehingga hasil yang diharapkan adalah dapat melakukan matematika (Doing Mathematic)

Pemahaman konseptual (Conseptual Understanding) jelas tidak sama dengan memahami suatu konsep (Understanding Of Consepts). Pemahaman Konseptual mengacu pada pengintegrasian dan fungsional memahami ide-ide matematika, yang mengarahkan siswa membuat kaitan atau hubungan antara konsep-konsep matematika yang telah mereka ketahui sebelumnya untuk mempelajari konsep matematika yang baru. Sedangkan memahami suatu konsep hanya terfokus pada satu konsep penguasaan satu konsep tertentu saja.

Sebagai contoh, ketika siswa menyelesaikan , mereka harus membuat kaitan antara konsep perkalian dan penjumlahan bilangan bulat dengan konsep pecahan. Sesungguhnya banyak pendekatan untuk mengajarkan konsep pecaha tersebut. Diantaranya bisa menggunakan visualisasi berupa gambar sebuah kotak yang dibagi menjadi   bagian dan  bagian lalu dijumlahkan, Pendekatan melipat kertas, pendekatan menyamakan penyebut atau bahkan dengan membawa siswa ke masalah sehari-hari. Misalnya kita bertanya “Berapa setengah Kilogram Jengkol ditambah Sepertiga Kilogram Jengkol?”. Siswa yang sehari-harinya akrab dengan dunia pasar, tentunya dengan cepat akan menjawab  Kilogram. Lalu kita menjelas bahwa “Setengah  , dan Sepertiga ”. Sehingga mereka dapat menarik kesimpulan bahwa .

Contoh lain, ketika mendefinisikan bilangan genap. Guru bisa saja memberikan definisi secara langsung, lalu memberikan pertanyaan-pertanyaan menantang yang berkaitan dengan contoh dan bukan contoh bilangan genap. Lalu siswa diberi kesempatan untuk menduga atau berdiskusi untuk memperoleh jawabannya. Atau Siswa membangun definisi sendiri melalui pengetahuannya tentang bilangan bulat yang habis dibagi dengan 2.

Dari contoh di atas menunjukkan bahwa dalam penguasaan pemahaman konseptual sangat dibutuhkan kemampuan untuk berkomunikasi. Komunikasi disini tentunya sangat berkaitan dengan konteks yang sedang dibicarakan. Pemahaman konsep seperti mengorganisasi buku-buku diperpustakaan berdasarkan kalsifikasinya dan buku yang baru berperan sebagai konsep yang baru yang harus disusun.

Pemahaman konseptual sangat penting untuk dimiliki oleh seorang siswa. Karena kentungan membangun pemahaman konseptual adalah mendukung daya ingat. Namun lebih dari itu seorang guru harus lebih dahulu menguasai pemahaman konseptual pada disiplin ilmunya. Karena kebanyakan guru mempunyai “kemampuan trik” sendiri dalam mengajar. Akan tetapi guru yang cermat selalu mencari ide dan teknik baru untuk diterapkan di dalam kelas.

Oleh karena itu gagasan yang mungkin perlu tindak lanjut adalah sebagai seorang guru, kita harus berusaha keras untuk menyempurnakan keterampilan kita dalam seni mengajar untuk membekali siswa kita dengan matematika yang sesuai. Karena keterampilan seni mengajar penting, khususnya bila kita berusaha memotivasi siswa. Selain itu, sebagai seorang guru kita juga harus memperkaya wawasan kita dengan berbagai metode pembelajaran. Hal ini bertujuan agar kegiatan belajar mengajar di dalam kelas tidaklah membosanka. Akhirnya dapat dikatakan bahwa seorang guru berkewajiban memfasilitasi berkembangnya kemahiran matematika pada diri siswa yang diajarnya.

Rotasi terhadap titik Pusat O(0,0)

 

Hasil Latihan Geometri Tahap Pertama

Perpotongan Kurva dan garis lurus Berikut ini adalah hasil uji coba Geogebra Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) Rusliansyah, Created with GeoGebra

Bukti-bukti Teorema Keterbagian 2

Lihat juga Bukti Teorema Dasar Keterbagian 1

Makalah Kompetensi Guru

KOMPETENSI GURU

Rusliansyah

NIM.90110301

Dalam Peringatan Hari Guru Nasional XI, tepatnya pada tanggal 2 Desember 2004, karena Presiden mencanangkan guru sebagai profesi. Pencanangan itu diharapkan menjadi tonggak kebangkitan guru untuk senantiasa terus meningkakan kompetensinya dan sebagai upaya agar profesi guru menjadi daya tarik bagi putra-putri terbaik negeri ini untuk menjadi guru

Sejak itu, gairah untuk segera menetapkan undang-undang profesi guru dan dosen menjadi semakin tampak. Kini, sejumlah perangkat perundang-undangan diterbitkan dengan harapan seorang guru dapat menjadi tenaga yang benar-benar kompoten sehingga mampu meningkatkan kualitas Sumber Daya Manusia (SDM) segenap warga Negara Indonesia, sehingga Negara Indonesia menjadi Negara yang maju dalam pendidikan. Tak mengherankan bila kini para guru dan sejumlah orang yang punya perhatian kepada guru, memperbincangkan soal kualifikasi, kompetensi, dan sertifikasi.

Sebagai profesi, kompetensi guru ini erat kaitannya dengan keberhasilan guru sebagai seorang pendidik, dimana guru yang kompeten berpeluang menjadi pendidik yang profesional. Oleh karena itu, pada tulisan ini penulis merasa perlu untuk mengkaji apakah guru-guru kita ini sudah kompeten atau belum, sudah profesional atau belum dalam menjalankan profesinya. Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, kita harus mengerti apa yang dimaksud dengan kompetensi.

Sebagai ilustrasi. Pada tahun ajaran 2007 – 2008 beberapa orang siswa di suatu sekolah A dipusat kota Palu berhasil melalui Ujian Nasional dengan nilai rata-rata diatas 9,00. Apakah guru-guru di sekolah tersebut sudah dapat dikatakan kompoten dalam mengajar? Sementara itu sebuah sekolah B dipinggiran kota Palu pada tahun ajaran yang sama hanya mampu meluluskan siswanya 68 %. Apakah guru-guru di sekolah tesebut tidak meiliki kompetensi dam mengajar? Tentunya dengan fakta tersebut kita belum dapat menyimpulkan bahwa guru-guru di sekolah A tersebut memiliki kompetensi dalam mengajar dan guru-guru di sekolah B tidak kompoten. Bisa saja keberhasilan pada sekolah A disebabkan oleh siswa yang masuk disekolah tersebut adalah siswa pilihan dengan kemampuan diatas rata-rata. Sebaliknya siswa yang masuk ke sekolah B adalah siswa yang kemampuannya dibawah rata-rata.

Kalau kita baca literatur, tidak (belum) ada definisi kompetensi yang disetujui secara universal, tergantung dari asal definisi itu dibuat, yaitu :

1. Berdasarkan kebijaksanaan pemerintah
2. Keinginan dunia kerja
3. Hasil riset.

Sebagaimana tinjauan teori grounded pendekatan konsep kompetensi (Weinert, 2001) mengungkapkan bahwa tidak ada penggunaan tunggal dari konsep kompetensi dan tidak ada definisi yang diterima secara luas atau teori pemersatu.

            Misalnya Robert A. Roe (2001) mengemukakan definisi dari kompetensi yaitu: Competence is defined as the ability to adequately perform a task, duty or role. Competence integrates knowledge, skills, personal values and attitudes. Competence builds on knowledge and skills and is acquired through work experience and learning by doing. Dalam pendefinisian ini, Robert A. Roe menekankan bahwa Kompetensi merupakan kemampuan untuk melakukan tugas atau peran secara memadai. Mengintegrasikan kompetensi pengetahuan, keterampilan, nilai-nilai pribadi dan sikap.

            Sementara itu Watson Wyatt dalam Ruky (2003:106) mengatakan kompetensi merupakan kombinasi dari keterampilan (skill), pengetahuan (knowledge), dan perilaku (attitude) yang dapat diamati dan diterapkan secara kritis untuk suksesnya sebuah organisasi dan prestasi kerja serta kontribusi pribadi karyawan terhadap organisasinya.

Dari dua pandangan di atas, Penulis berpendapat bahwa kompetensi adalah Pengetahuan, keterampilan dan kemampuan yang dimiliki oleh seseorang untuk untuk melakukan suatu pekerjaan secara efektif. Kompetensi berkaitan erat dengan proses memaknai fungsi setiap individu dalam pekerjaan yang mereka tekuni.

Sebagai ilustrasi, kompetensi seorang pengacara dan seorang jaksa. Walaupun keduanya berada dalam satu wadah yaitu wadah penegakan hokum, tetapi keduanya memiliki kompetensi yang berbeda. Seorang pengacara akan menjadi pengacara yang kompoten jika dia dapat memaknai fungsinya sebagai pengacara. Sehingga dengan pengetahuannya tentang peraturan perundang-undangan yang berlaku dan keterampilannya mengemukakan pendapat di depan persidangan, pengacara tersebut diharapkan dapat meringankan atau bahkan dapat membebaskan klienya dari dakwaan jaksa. Sebaliknya seorang jaksa akan menjadi jaksa yang kompoten jika dia dapat memaknai fungsinya sebagai jaksa. Sehingga dengan pengetahuannya tentang peraturan perundang-undangan yang berlaku dan keterampilannya mengemukakan fakta di depan persidangan, tentunya diharapkan dakwaannya dapat dikabulkan oleh majelis hakim.

Demikian pula halnya dengan seorang guru. Untuk menjadi guru yang kompoten, kita harus mengetahui siapa sebenarnya guru itu dan apa fungsinya. Guru adalah semua orang yang berwenang dan bertanggungjawab terhadap pendidikan siswa, baik secara individual maupun klasikal, baik disekolah maupun di luar sekolah, ini berarti seorang guru minimal memiliki dasar-dasar kompetensi sebagai wewenang dan kemampuan dalam melaksanakan tugasnya. Untuk itu seorang guru perlu memiliki kepribadian, menguasai bahan pelajaran dan menguasai cara-cara mengajar sebagai dasar kompetensi. Bila guru tidak memiliki kepribadian, tidak menguasai bahan pelajaran dan cara-cara mengajar, maka guru akan gagal menunaikan tugasnya, sebelum berbuat lebih banyak dalam pendidikan dan pengajaran. Oleh Karena itu, kompetensi mutlak dimiliki guru sebagai kemampuan, kecakapan atau keterampilan dalam mengelola kegiatan pendidikan. Dengan demikian guru yang kompeten berarti memiliki pengetahuan keguruan, dan memiliki keterampilan serta kemampuan sebagai guru dalam melaksanakan tugasnya.
            Guru yang kompeten tidak hanya tahu akan tugas, peranan dan kompetensinya. Namun dapat melaksanakan apa-apa yang menjadi tugas dan perannya, dan selalu meningkatkan kompetensinya agar tercapai kondisi proses belajar mengajar yang efektif dan tercapai tujuan belajar secara optimal

Sebagai ilustrasi, ketika disuatu sekolah terjadi keributan akibat dari amukan beberapa orang siswa yang tidak naik kelas. Fungsi guru disini bukanlah sebagai pengajar, melainkan bagaimana caranya guru berfungsi sebagai orang tua atau sekaligus sebagai teman dari para siswa tersebut, sehingga guru dapat menyelami masalah siswanya dan dapat menenangkan atau mengontrol emosi mereka.

Ilustrasi lain, Seorang Guru Matematika dikatakan berkompetensi dalam mengajar  Bidang Studi Matematika, jika guru tersebut memiliki pengetahuan yang dalam terhadap Bidang Studi Matematika, terampil menggunakan aturan-aturan yang berlaku dalam Matematika dan mampu mentransferkan pengetahuan yang dimilikinya kepada Peserta Didiknya. Sehingga Peserta Didik dapat melakukan kegiatan matematika dan mampu menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan matematika.

Hal lain yang tidak kalah penting untuk mendukung kompetensi seorang guru adalah sarana prasarana yang ada pada sekolah dimana guru tersebut mengajar. Semakin lengkap sarana prasarana yang ada pada suatu sekolah, tentunya diharapkan guru yang mengajar disekolah tersebut semakin kompeten dalam bidang keilmuannya masing-masing.

Sebagai ilustrasi, pada sekolah B yang telah dikemukakan sebelumnya pada tahun ajaran 2007 – 2008 tidak memiliki fasilitas Laboratoriu. Apakah itu Laboratorium Fisika, Kimia dan Komputer. Bahkan di sekolah tersebut tidak memiliki buku-buku perpustakaan. Jadi menurut penulis wajarlah jika dengan latar belakang yang dimilikinya, sekolah tersebut hanya mampu mencapai tingkat kelulusan 68%.

Dari uraian singkat di atas, penulis mencoba untuk menyimpulkan bahwa kompetensi guru berkaitan erat dengan pengetahuan, ketrampilan dan kemampuan seseorang guru pada bidang keilmuan yang ditekuninya. Selain itu kompetensi seorang guru sangat dipengaruhi oleh latar belakang peserta didiknya dan sarana prasarana pada sekolah dimana guru tersebut mengajar.