Induksi Matematika # 2

 Salam Smart buat Sahabat yang Smart!
Berikut postingan tentan banyaknya pecahan sederhana  pada barisan bilangan pecahan yang penyebutnya sembarang bilangan komposit n.
Semoga bermanfaat ya.... 
================================================================
Misal  adalah bilangan komposit yang memiliki faktor prima yang berbeda
Misal dengan bilangan-bilangan prima yang berbeda.Tentukan banyaknya pecahan sedrhana pada barisan pecahan:

 

adalah:

 

Bukti dengan Induksi matematika:

1)      Untuk yang memiliki 1 faktor yaitu , dapat ditulis maka banyaknya pecahan sederhana adalah:

Untuk , maka barisan pecahan adalah:

 

Pecahan yang pembilangnya kelipatan ada sebanyak yaitu:

   

Sehingga banyaknya pecahan sederhana pada adalah:

   

Jadi Untuk yang memiliki 1 faktor yaitu , maka pernyataan bernilai benar. 

2)      Asumsikan pernyataan benar untuk yang memiliki faktor prima  yaitu: 

 

maka banyaknya pecahan sederhana adalah:

 

3)  Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa pernyataan juga benar untuk yang memiliki     

      faktor yaitu 

 

 Untuk  

Misal , maka . Sehingga banyaknya pecahan sederhana pada adalah hasil kali antara banyaknya pecahan sederhana pada dengan banyaknya pecahan sederhana pada   

Barisan pecahan pada adalah:

   

Pecahan yang pembilangnya kelipatan   sebanyak yaitu:

 

 Banyaknya pecahan sederhana adalah:

 

Jadi banyaknya pecahan sederhana untuk adalah hasil kali antara banyaknya pecahan sederhana pada dengan banyaknya pecahan sederhana pada yaitu:

.

  

Jadi pernyataan juga benar untuk yang memiliki faktor yaitu  

Sehingga dapat disimpulkan bahwa:

Misal dengan bilangan-bilangan prima yang berbeda, banyaknya pecahan sederhana pada barisan pecahan:

 Adalah:

 

Untuk semua